CAM曲线用五次多项式生成，有什么优点呢？

除了可以使用单项式获得水平段外，还有哪些用途？

CAM曲线？这是说的什么地方的事？我怎么不知道呢？这个5次方的曲线在哪？是现成的块？能再说说吗？看不懂耶。

不过，工程上，我们是做过实验的，一般要模拟一个现场的运动轨迹，比如说一个物体的运动轨迹，它主要是受运行速度产生的风阻和道路摩擦阻力，简单的模拟，就是用2次方程来描述。而实际采集到的阻力曲线，用数学多项式来拟合，5次方才能算是基本接近了实际。

在控制领域，模拟一个实际的运行轨迹，基本都是多项式方程，而多项式的方程，次数越高就越接近实际。谁说没有用呢？特别有用！过去受计算机水平限制，高次方程很少被用于工程，现在，能用多高就用多高。只要满足响应速度的需求，越高次方程计算，越接近实际。

楼上的回答好莫名其妙啊，人家问的是凸轮的描点曲线类型

是呀，我只看到说多项式的方程，没看懂其他。凸轮的曲线就说凸轮多好呢？一看就懂了。嘻嘻。

不过更说明了多项式描述曲线的用途了。

不明白多项式，什么规律，怎么设置相关参数。

测试中，多一级参数变化，会带来更大的曲线跨越。不知道怎么跟实际需要曲线关联的。。。

我是这么理解：

任何一个负载特性，它的运动轨迹，可以通过一个平面曲线来描述。作为控制或仿真，首先是要能知道或取得这个负载特性的平面曲线，然后把它拿到控制系统里，通过高次方程运动形式去实时控制。实现与真实负载特性一致的效果。

通过实践发现，对于一个真实的负载特性曲线（运动轨迹），采用高次方程来拟合，是完全可能的。拟合的精度越高，要求的多项式方程次数也越高。这是正比关系。

五次方程一般能满足这个需求。仅此而已。

至于凸轮的仿真模拟，我就不知道了，因为没做过。但我们行业用这个模拟发动机在装车以后的路谱采集。五次方程能获得相当高的曲线拟合精度了。

至于如何使用方程在控制系统里的应用？如何设置参数？这就是很简单的事情了。首先，你要已知这个控制方程，他是你的控制对象，如果不知道，无从谈起其它。控制对象的运动轨迹可以是已知的需求，可以实测一个曲线，然后通过计算机变换成高次方程。然后在控制系统里讲这个方程的自变量参数关联，并对方城中的所有系数参数化设置。就OK了。这些内容属于工艺控制范畴。

假如凸轮曲线位置关系如下：

1、X=0；Y=0;

2、X=60;Y=80;

3、X=120;Y=100;

4、X=180;Y=220;

5、X=240;Y=300;

6、X=300;Y=300;

7、X=360;Y=360。

这样的曲线，直观的点关系，用多项式如何表达？

ok，把这7个点放在一个y = f（x）坐标系里，描绘出一条曲线，然后把这套曲线用多项式方程来表示。这样的处理方法有很多，而且有专门的软件去做变换。或者自己写程序来实现。现在的计算机高级语言做这个都不是难事。

windows里的excel也能把曲线变换成多项式方程。一般我们都是通过VB.NET程序来实现这个转换的。这是软体工程师的事。

回复5楼的评论：

在自动化与驱动控制工艺里，利用数学模型仿真和模拟被控对象的运动轨迹，经常会遇到。这种方法应该了解和掌握。

过去上学时，总是很不解，为什么自动化专业学的数学要比其他专业更多，更难？特别是工程数学，矩阵，概率等等呢，搞得云山雾罩。现在通过工作才理解，搞控制数学是基础，是门槛。

五次多项式能保证位置轨迹在拐角处的速度，加速度连续平滑，没有冲击，减小震动。 

这个议题，觉得有必要把它理理清，否则用不好这个数学定论功能。

1：你提到的方法是很经典，很成熟的处理方法，计算上全化成无量纲的0.0-1.0的实数参与运算（类似电力系统的标幺值计算）。

2：位置-时间的函数关系化成主位置（Y）-从位置（X）的关系。

3：解5次多项式的系数时缺少一个方程，加上跃度连续且可微这个约束刚好解出所有的系数，间接证明5次多    项式可以使跟随运动更平滑。

4：一般需要曲线非对称以达到加速范围小减速范围大，所以选择3,5,7而非2,4,6多项式。

5：也有用7次的或者Fourier多项式的（Fourier理论上优于Taylor的）。

这么个由浅入深的理解。

y=kx+b这条直线只能经过两个点。你给出的这数组可以用这个方程拟合这些点成为一条曲线。直接就是直线连接相邻的两个点可以了。这曲线显然只是一条折线。

y=ax^2+bx+c这条线抛物线一定可以经过你给出的三个点。同样可以用这条曲线拟合你的数组。

y=ax^3+bx^2+cx+d可以经过四个点。

y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e可以经过五个点。这条式是不是有五个不能再合并的项？五项式的来历。

用这条式的曲线去拟合你给出的任意五个点，这意味着图形虽然仅仅显示两个点之间的曲线，但是它可以一直延伸到以后的三个点。也就是它的趋势；趋势的趋势；趋势的趋势的趋势已经延伸到很远。

你连接AB两点用这条曲线，AB点之间已经有这条曲线了，它的极限是到达E点，但是此时仅仅画出AB两点之间的这部分曲线。

连接BC两点的时候，又用另外的一条五项式，它又可以在与前面那条曲线一部分基本重合的情况下可以延伸到F点。这样的话，两道曲线之间的相交处的变化率就趋于相等了。也就是平滑。

一直用这个规律，用现成的两个点加上未来的3个点做一条五项式，拟合当前两个点之间的曲线，就可以把你数组里的点连成一条曲线。

这只是一个很入门很入门的原理。绝对不代表实际。

这个好处是由于运算简单，运算速度快，生成曲线容易。

例子这样的方程曲线是有限制的，你别弄个迂回曲线就可以了。就是说一个Y值有两个X的可能，或者一个X值有两个Y的可能。（不过凸轮是不存在这样的曲线的）

楼主提到的单项式可以生成水平段，其实就是y=k，这就是一条水平线。这就是只有一项，连X都没有。

谢谢芳季先生的引浅入深，大概知道多项式计算有什么优势了，类似前馈，在未到达的时候，已经规划好了到达后面2~3个点的路径，不会显得非常急加减速去走直线。

实际应用中，运用多项式，调试运行，花的时间会比直线段多很多吧。

但是能把系统最高的效率发挥出来，平滑顺畅。。。

至于多项式，还是需要工具计算参数的，如Excel。

@Tech.Wing 回复你对7楼发言的回复：

多项式模拟方程，有两种形式，适用于传动控制工艺。一种是，已知曲线坐标的几个点，把它变换成多项式的方程，然后再把方程系数置于控制系统的相应多项式参数里；一次性的曲线设置植入；另外一种是，上位机（工控计算机）自己通过编程软件把已知的几个点，换算成多项式方程，由通讯形式输入控制器的相关参数里。这样的做法，更多的是用于实时更新曲线参数。自动化的多项式方程通讯控制。

因为位置，速度，加速度的要求，所以用5次多项式拟合。11楼也说了方程能解出多项式的系数。

龙格现象

在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以计算相应的函数值。例如，在事先不知道某一函数的具体形式的情况下，只能测量得知某一些分散的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。

中文名

龙格现象

外文名

Runge phenomenon

发现者

龙格

定义

利用多项式对某一函数的近似逼近

简介

例外发生了：龙格在研究多项式插值的时候，发现有的情况下，并非取节点（日期数）越多多项式就越精确。著名的例子是f（x）=1/(1+25x^2).它的插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。究其原因，是舍入误差造成的。

具体的情况可参考下列Mathematica程序：

n = 10; x = Range[-1, 1, 2/n]; y = 1./(1 + 25 x^2); p =

Transpose[{x, y}];

Clear[t]; f = LagrangeInterpolation[x, y, t];

Show[

Plot[{1./(1 + 25 t^2), f}, {t, -1, 1}],

ListPlot[p, PlotStyle -> PointSize[0.02]]

]

程序演示

Matlab 程序演示 （一）

代码

>> f=inline('1/6-y/30','t','y'); 

[t,y]=ode45(f,[0,5],[0]); 

plot(t,y) 

>> hold on 

plot(t,5-5*exp(-t/30),'r*')

下面是MATLAB中演示插值的M文件：

演示结果

%演示龙格函数的插值情况

for i=3:2:11

x=linspace(-1,1,i);

y=1./(1+25*x.^2);

p=polyfit(x,y,i-1);

xx=-1:0.01:1;

yy=polyval(p,xx);

plot(xx,yy,'b');

hold on;

grid on;

end;

plot(x,1./(1+25*x.^2),'r');

运行效果如右图

图中红色的才是真正的函数图形。一般把这种次数越高而插值结果越偏离原函数的现象称为龙格现象。所以在不熟悉曲线运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值。