龙格现象

在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以计算相应的函数值。例如，在事先不知道某一函数的具体形式的情况下，只能测量得知某一些分散的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。

中文名

龙格现象

外文名

Runge phenomenon

发现者

龙格

定义

利用多项式对某一函数的近似逼近

简介

例外发生了：龙格在研究多项式插值的时候，发现有的情况下，并非取节点（日期数）越多多项式就越精确。著名的例子是f（x）=1/(1+25x^2).它的插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。究其原因，是舍入误差造成的。

具体的情况可参考下列Mathematica程序：

n = 10; x = Range[-1, 1, 2/n]; y = 1./(1 + 25 x^2); p =

Transpose[{x, y}];

Clear[t]; f = LagrangeInterpolation[x, y, t];

Show[

Plot[{1./(1 + 25 t^2), f}, {t, -1, 1}],

ListPlot[p, PlotStyle -> PointSize[0.02]]

]

程序演示

Matlab 程序演示 （一）

代码

>> f=inline('1/6-y/30','t','y'); 

[t,y]=ode45(f,[0,5],[0]); 

plot(t,y) 

>> hold on 

plot(t,5-5*exp(-t/30),'r*')

下面是MATLAB中演示插值的M文件：

演示结果

%演示龙格函数的插值情况

for i=3:2:11

x=linspace(-1,1,i);

y=1./(1+25*x.^2);

p=polyfit(x,y,i-1);

xx=-1:0.01:1;

yy=polyval(p,xx);

plot(xx,yy,'b');

hold on;

grid on;

end;

plot(x,1./(1+25*x.^2),'r');

运行效果如右图

图中红色的才是真正的函数图形。一般把这种次数越高而插值结果越偏离原函数的现象称为龙格现象。所以在不熟悉曲线运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值。