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回复：S7-200Smart的延长函数和分辨率数据处理

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钻石如何晋级?

发布于 2021-06-09 10:39:28

9楼

分享的内容和延长追踪有关再占最后一楼，贴一个简易的梯形主从跟踪速度规划图,不一定正确。

好的跟踪规划的方法很多：如实时多项式样条曲线(三五七三对角矩阵)，其它样条插值曲线(A/B/C)等。这些都已在”高级端”运动控制器以及驱动器侧；”中高端”PLC以及板卡上；以及一些”低级端”PLC与单片机上非常成熟的应用了，至于效果和精度大概率是中高端解决方案好。不过无论哪种方法主从轴速度的实时精密测量以及实时给定很关键，主轴的反馈调速的平稳度很关键，传动机构和驱动器的性能更是很关键。

如上图：根据三个主约束条件(1):第一段梯形面积加上第二段梯形面积等于剩余要追踪的距离;(2):本次从轴速度的初值V从轴实际(i-1),本次从轴速度的终值V从轴速度（N）==V主轴实际（i-1)即本次采样的主轴速度就是从轴最终即将追上主轴时的从轴速度;(3)M个主轴或虚拟轴编码器脉冲中断一次，T(i)是本次时间微分极小值==M/V主轴实际（i-1）；以及N==（S主轴终点-S主轴起点）/M (其中S主轴终点以及S主轴起点都是确定的)；进而通过以上条件求出本次从轴实时规划速度V从轴规划（i）.

主轴速度的每次采样可能有微小差距所以有V主轴实际（i-1）和V主轴实际（i），本次规划点全为图示黄色,黄点2规划点和实际的黄点1，3之间三点共线的可能性很小很小，三个橙色的点是再下一次的三个规划点.

由此如果主轴的速度是可观测而且可以反馈控制的话效果最好;如果主轴的速度只能观测(完全是第三方掌握)无法受控也没太大关系。

最后可能还要考虑简易的残差补偿。

最重要的约束条件1：跟踪结束点主从速度刚好相等保持同步。

次重要的约束条件2：跟踪结束点主从位置刚好等于物料长度。

次重要不是不重要，这和切割/贴标/喷码精度等有关系；最重要是必须满足的条件，否则可能会出问题。

主轴编码器每M个脉冲中断一次去规划一次从轴速度，M=1时中断最频繁,控制器/驱动器/执行器可能没有这么快的响应，也不一定，可能大多数不会这么用。i-1和i之间以及i和i+1之间恒有M个主轴编码器脉冲，但i-1和i之间以及i和i+1之间的时间不是很均匀和主轴速度有关，有的控制器叫实时输入频率RTIF。规划理想的话最终在N点主从速度刚好相等（最重要约束条件），主从位置刚好相差一个物料长度（次重要约束条件），当i==N-1的时候，从轴的最后一个规划点V从轴规划（N）直接规划成V主轴实际（N-1）即可。

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如上图：

理想的规划量纲 Pulse;ms;Pulse/ms;

理想的开始追踪时读取本次主从编码器值得到S主轴起点；S从轴编码（i-1）（当i=1时S从轴编码（0）==S从轴起点）；V主轴实际（i-1）;V从轴实际（i-1）;{i=1,2,3...N}以上物理量均处于同一个虚拟绝对坐标系下且不考虑任何直线方向的齿轮比，减速比，分辨率等缩放关系。

理想的S从轴终点==S同步起点；这是理想从轴终点的规划点；

理想的得到S主轴终点==S从轴终点+S物料长度；

理想的规划每M个主轴编码器脉冲中断一次去规划从轴速度V从轴规划（i）；{i=1,2,3...N}

理想的得到N==(S主轴终点-S主轴起点)/M；{i=1,2,3...N}

理想的推算本次实际点到本次规划点的时间微分极小值T(i)==M/V主轴实际（i-1）;即本次i-1到下次i的理想时间微分是T(i)；{i=1,2,3...N}

理想的推算得到本次规划点到终点N的时间积分累计值==（N-i）*T(i);即下次i到终点N的理想时间积分是（N-i）*T(i)；{i=1,2,3...N}

理想认为在时间微分极小值T(i)内主轴匀速,即使主轴不停变速也可以这么认为,因为下个时刻会根据主轴速度的变化来更新新的时间微分极小值T(i+1),类比微积分教材-变力沿变曲线做功.

理想的得到第一段梯形面积：

{【V从轴实际（i-1）+V从轴规划（i）】*T(i)}/2==S第一段梯形面积；{i=1,2,3...N}

理想的得到第二段梯形面积：

{【V从轴规划（i）+V主轴实际（i-1）】*（N-i）*T(i)}/2==S第二段梯形面积；{i=1,2,3...N}

理想的根据两段面积之和等于剩余追踪距离得到：

S第一段梯形面积+S第二段梯形面积==S从轴终点-S从轴编码（i-1）==K从轴剩余（i-1）；{i=1,2,3...N}

理想最终求解得到：

V从轴规划（i）={{{[2*K从轴剩余（i-1）/M]+i-N}*V主轴实际（i-1）}-V从轴实际（i-1）}/(N-i+1)；{i=1,2,3...N}

理想的不考虑残差补偿上式可以做从轴速度给定值==V从轴规划（i）

理想的计算得到S第一段微分极小梯形面积就是要发的脉冲数

理想的根据以上两点可以形成使用PLS脉冲输出的速度和脉冲数两个指令条件了，理想情况即使本次发不完脉冲也没关系，下次规划不会累计脉冲误差，当然也可以规划成模拟量速度给定输出，或者是只控制PLS指令的速度值或者是控制Man块的速度值。

理想的在下次M个主轴编码器中断中重复计算以上内容规划出V从轴规划（i+1）；

理想的当i==N-1时直接将V从轴规划（i+1）==V主轴实际（i）即V从轴规划（N）==V主轴实际（N-1）;

理想的情况下以上规划适应于主轴有任意初始速度，主轴有任意初始位置，从轴有任意初始速度，从轴有任意初始位置，主轴在追踪过程中可以变速，从轴第一个初始速度也可以直接给定一个起始速度随后再规划，未同步前甚至可以改变同步点的绝对距离。M的选取根据实际速度，传感精度，运算能力，驱动响应等因素综合考量。以上是自己瞎想的，理想的，最简单的梯形速度规划，没参考任何文章，不一定正确（可能有相关理论和实践性的文章，如果留意到一定会做出处引用）如有雷同，纯属巧合。

理想的运行曲线如下：

当然以上是理想的离散数学分析，不一定正确：理想的当M很小的时候，总体规划次数可能达到几百上千次，甚至上万次，总体速度应该没太大突变的可能性，当然也不一定。

理想的这可以看成对位移曲线做微变时间步长T(i)的（但却是恒定主轴时钟步长），微小的梯形微分后再积分的一种数值分析形式。

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V从轴规划（i）={{{[2*K从轴剩余（i-1）/M]+i-N}*V主轴实际（i-1）}-V从轴实际（i-1）}/(N-i+1)；{i=1,2,3...N}

理想的将i-1替换成x;并简化一些常量上式变成：{(P*K从轴剩余(x)+x+L)*V主轴实际（x）-V从轴实际（x）}/（N-x）

上式对x求一次导得到加速度导数的分子是（N-x）的二次方；

上式对x求两次导得到跃度加加速度导数的分子是（N-x）的四次方；

上式对x求三次导得到加加加速度导数的分子是（N-x）的八次方；

理想的粗略判断，以上加速度，加加速度等只在x==N即同步后到同步微调的第一个速度给定时有形成不连续间断点的可能性，但是综合分析理想情况下x最大值是N-1时（即i==N）已经完成同步；所以求导内容几乎永远没有形成间断点的可能性，纯理论上第一次导数连续则速度连续，第二次导数连续则加速度连续，第三次导数连续则跃度连续......而当M足够小最后一个主从速度相差不大的情况下，可能也不会突变，也不一定。

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理想的本次规划的即将输出的速度和本次实际测量读取的速度，它们的本次差值除以本次理想时间微分T(i)则得到规划加速度，对这个加速度的绝对值进行限幅也是可以的，即大于最大值就固定住最大值，小于最小值就固定成最小值。

理想对M（M:每M个主轴脉冲中断一次去规划从轴速度和位置）的处理：有的控制器甚至对主轴反馈过来的每一个方波脉冲还要再细分很多份（如100份：即在几十Mbps的时序下细分接收到的主轴方波信号），这可能有助于提高虚拟推测分辨率，就像上面的理想扩充模拟量输入的分辨率一样，这种可能并不一定改善精度，但也有改善精度和响应性的可能，总之有可能就是有希望。因此把M规划成1甚至是小数0.1；2.5等这种情况，在有些情况下也不是完全没有可能。

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第二介绍一种简单的梯形中位线性规划法：即先规划最中间时间点时刻的一个虚拟从轴规划速度再根据第一段梯形斜率加速度a1一致原则反推算出下个微分时间极小值T(i)时刻的实际从轴规划速度，这有可能改善速度的平均突变率，拼凑出以下十条运行规则（规划图如下）：

(01)：当1<=i<=N-3时V从轴规划(i)=={[4K从轴剩余（i-1）-M*(N-i+1)]*V主轴实际（i-1）+[M*(N-i+1)*(N-i-2)]*V从轴实际（i-1）}/[M*(N-i+1)*(N-i+1)]; i的取值：i=1到N-3。这个数学推导很简单就是初中级别的几何内容在此略去。

(02)：当i==N-2时V从轴规划(N-1)=={{[2K从轴剩余（N-2）/M]-1}*V主轴实际（N-2）-V从轴实际（N-2）}/2，这个推导依据就是最后即将追上时刻的最后一个有均匀时间中点的梯形面积公式。

(03)：当i==N-1时直接将下个从轴速度规划成当前主轴速度即可即 V从轴规划(N)==V主轴实际(N-1);

(04)：当i==N时启动下一个阶段的反馈微调，已经追上准备下一阶段的控制。

(05)：第一次规划先判断i的值和N的关系，且判断后i不自增直接规划从轴速度输出给定；以后每进一次M个主编时钟的反馈中断先判断i的值和N的关系，且判断后i自增，然后再规划从轴速度输出给定。

(06)：以上物理量均处于同一个虚拟绝对坐标系下且认为主从轴以及虚拟轴等各工程物理量都是1:1关系即不考虑任何直线方向的齿轮比，减速比，分辨率等缩放关系；实际应用需在函数外部建立好缩放关系。

(07)：以上为最简单的以时间积分值中点做剩余路程面积的二分切割图形。得到的两段直线斜率即加速度差值a差==a2(第二段直线斜率加速度)-a1（第一段直线斜率加速度），对斜率加速度之差a差求导后并令导数==0来求极值，则求解得到的时间就是以时间积分值中点二分切割点，即加速度突变的极值点就是以离散的时间微分极小值T(i)的积分累计值(N-i+1)*T(i)的中点来划分的（理想是极小值点最好以保证加速度最小突变）。

(08)：理想的在时间微分极小值T(i)内可认为主轴是匀速的，即使主轴在不停的变速也可以这么认为，因为下次采样会根据变化的主轴速度来更新时间微分极小值T(i)，这类似于微积分教材求实时变化的力沿实时变化的曲线做功的思路。这条导数的数学推导很简单就是根据梯形面积推出两段直线的斜率再做差值再求导。如果有空会更新下简易的推导。

(09)：还有加速度要实时计算且限幅，速度规划值大于等于零，这样的简易规划一定有相应的应用场景.

(10)：因为柔性的高次非线性曲线规划方法在使机械特性很硬，面积积分很准，时间积分较短等方面都存在一定问题，而且时间微分极小值T(i)下面的梯形规划总体看来就是实时变化的曲线规划，只不过是一直在实时的”以直带曲“。因此这样简易的二分梯形中位线规划控制好起始以及结束给定的话一定有相应的应用场合。

非线性类型曲线规划可能涉及简易的变分法(二维泰勒展开截取两个自变量的一阶叠加量-即变分)，即已知本次主从轴实际速度，以及从轴剩余距离，则可以规划一条曲线，使曲线所围的面积的积分就是从轴剩余距离，每进一次M主编码器中断实时解几个未知数的方程规划一次从轴速度即可（由于涉及矩阵以及无穷小替换以及超越方程因此略去冗繁的数学部分，以上完结）！

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第三介绍一种可能的柔性追踪曲线拟合：

以下除通用数学书籍外未参考任何资料,属于粗糙原创,但肯定具有一定的实践意义，仅供批判参考。以下的拟合曲线中令Gottfried Wilhelm Leibniz——Leonhard Euler发现的自然常数e的幂次序号变量X的缩放系数是-T(i)多数情况下可能是没问题的.

本次即第(i-1)次采样从轴速度-时间拟合公式规则如下:

(01)a/b/c/d这四个系数也是实时变化的.

(02)d是曲线的对称中心点随i变化,它的选取很重要可根据情况设成总时间的中点时刻即令d=-(N-i+1)/2 注：这个d值=-(N-i+1)/2的选取和上文简易梯形时间中点虚拟速度规划的二分切割点的选取何其相似.

(03)序号变量x也是随着i变化的变量,它必须能遍历当前值i-1到终点值N即(x=i-1......N).

(04)M个主轴编码中断规划一次从轴速度,M的选取见上文,一些变量的分析计算也见上文.

(05)时间微分极小值和主轴编码器的实时输入频率有关T(i)=M/V主轴实际(i-1));(i=1......N).

(06)以下的推导体现了连续到离散,离散到连续的过程,理想情况它可以应付很复杂的二轴耦合运动控制.

(07)曲线规划起始点是本次采样的从轴速度即从轴速度曲线的首个点就是本次采样.

(08)曲线规划终止点是本次采样的主轴速度即从轴最终要达到本次采样的主轴速度.

(09)曲线对序号变量x的积分就是从轴剩余距离.

(10)曲线规划的几个a/b/c/d变量每次采样都会变化，可能求不出a/b/c的具体值，但不阻碍求出下次从轴速度规划即求出V从轴规划(i).

以下以序号变量X为积分对象来拟合曲线,根据拼凑的十个公式求解得到本次从轴规划速度V从轴规划(i).

由于帖子的公式编辑无法显示的原因所以截图如下：

上面的公式五应该添上T(i)变更成下式因为对连续时间t的微分必须添上T(i)才能变成对序号变量x的微分即dt==T(i)*dx

上式a,c系数公式应该去掉T(i)变更成下式

从轴追踪速度核心通项公式化简如下：

上式应去掉两个T(i)变更成下式

注：从轴的初始速度应先给定一个微小起始速度然后再按以下规律规划从轴速度输出，以保证数学运算的完整性。

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第四介绍一种时变(实时变化的)S曲线拟合

可以更合理点的拟合即从轴速度逼近主轴的同时，面积积分逼近，估计可以达到速度很准.理想情况下速度和路程应该很准,比如达到无穷小nm级别.将一个函数乘以指数的负次幂然后再积分也是拉普拉斯变换的思路以及正态分布的思路:这个思路既能让函数总体衰减趋于稳定,又能让函数调和的取平均。

如下把连续的时间离散化可将连续的公式离散化

统一的计算过程如下,公式的准确性取决了M的细分数N,细分数越多越好

从轴速度为什么可以写成如下的第一个公式:那是因为时间为无穷小或为很小的数0时带入公式得到的从轴速度是从轴当前实际速度值V(i-1)(初值是很容易满足的),时间为无穷大或为很大的数N时带入公式得到的从轴速度是主轴当前实际速度值V(N)(终值稍微难满足,在终值不满足的情况下怎么进行残差的调和补偿,即将总误差平均分配到每个控制周期很关键),这公式很好的满足了从轴速度的初值是当前从轴速度实际值;从轴速度的终值是当前主轴速度实际值这个条件,即满足速度初值和终值;而待定系数r可以根据速度曲线对时间的积分等于剩余距离K(i-1),来求解得到. 以上两点使这个公式很好的满足了:从轴跟踪速度逼近主轴速度当前值的同时,从轴跟踪面积逼近主轴面积的定差值.