e^x的用处非常大，尤其当x这个指数部分是复数，虚数i，或者是矩阵变换的时候。它是描述空间变化的数学神器。

当x是复数的时候，e^(x+iy) = e^x * e^iy，是把加法空间映射为乘法空间的一种有趣方法。

做为函数输入部分的加法，在几何上是沿着实数x轴和虚数y轴的平移，这两个变换在空间中是相互垂直的关系。

在复平面上的指数函数的乘法，对应加法中x在实数轴上的平移，e^x代表呈辐射状的按照e指数模式变化的复平面抻拉。对应加法中y在虚数轴上的平移，e^iy代表复平面中的线性旋转某个弧度y。

尤其对于自然指数而言，当y=1的时候，正好旋转1弧度。当y=π的时候，正好旋转π弧度，也就是180度，即e^iπ=-1，欧拉公式。

旋转是垂直于抻拉的变换，这点很重要。

加法中的两个线性平移的垂直关系，被映射成了径向呈e指数变化的抻拉与线性变化的旋转之间的垂直关系，这是一种对称变换。指数函数提供了这样一种映射方式，让指数函数集合在这种变换之下符合了群论中的闭合性，保持算法结构一致。

下面这张图片非常精确的描述了虚指数变化和欧拉公式涉及的映射关系。

乘法中的白色圆环对应加法中的虚数轴y轴。

乘法中的白色水平线对应加法中的实数轴x轴。

白色圆环与白色水平线的交点，实数1，是乘法中的的原点，对应原本加法坐标系的原点。

加法实数轴的负半轴被映射压缩到了乘法的0和1之间的狭小区域，这是e指数容量的非线性特点造成的。

每个圆环是都是临近圆环乘以或除以e的单位变化。白色圆环代表e^0*e^iy的变化范围。其它的蓝色圆环相应代表e^1*e^iy，e^2*e^iy，或者缩小为e^-1*e^iy，e^-2*e^iy 。。。 等等依此类推。

蓝色的放射线，每一格之间夹的角度是1弧度，也就是e^(i*0)，e^(i*1)，e^(i*2)，e^(i*3)之间的角度差距。注意e^(i*3)与x轴之间差了一小点角度，这个差别就是e^(i*3)与e^(i*π)之间差的那一点弧度0.14。图片中只是展示了加法y轴上正负3i之间的整数（+3i，+2i，+1i，-1i，-2i，-3i）所对应的圆弧度，总共6条蓝色放射线。

当加法y轴上的虚数值每变化2πi，乘法映射就绕圆转动一圈，无限重复缠绕转动下去，也就是三角函数的周期变化。加法y轴上虚数值的正负平移变化，分别对应乘法的逆时针和顺时针转动。

如果e^x的指数部分，采用矩阵和向量的变换来表示，就更精彩了。

当一个对象在随时间演化的系统状态空间中的位置决定了它在这个空间中的变化率的时候，e^(M*t)是绝佳的描述方式，其中m是变换矩阵，t是时间进度，可以全面了解系统的变化全貌。这里的状态空间是数学处理方法上的抽象空间。

其中的推导细节涉及到泰勒级数的展开，矩阵和向量的处理，有点繁琐，但其中对称性的丝丝入扣很精彩。

量子力学的薛定谔方程就是用这种方法描述的，但它的矩阵是无限维的，多重空间动态的复合描述。

这都是对偏微分方程求解引出来的。当用偏微分方程来解决问题，就得把它映射入相空间（phase space）处理，才能描述变化无所不在且处处反馈纠葛的现实世界中的系统。

前面提到群论这个词，顺便说两句。人们平时用数字和运算来表达变化的事物，用算法的交叉逻辑，也就是等式或者叫方程，它们之间的约束来求得未知。然而这些数字，算法，函数，矩阵等等，都是具体化的数学形态。对于追求一般性广义上的数学深层通用本质而言，这些是不够的，它们还是太具体太局限。群就是对于日常运算背后的对称性本质的一种抽象形式，它归纳了一些基本的对称性特点。这些东西一直都在，只是人们平时用加减乘除不会从这个角度来抽离考虑问题。线性代数中提到的线性空间，就算是通常人们能接触到的最抽象的部分了，它就是群论的直接产物。群是近世抽象代数的一部分，其它还有环、域、模、伽罗华理论等。从抽象的角度看，就连我们平时运用的数字系统都是具体的特例。这和面向对象编程背后的抽象思维是类似的。这些看起来抽象的数学工具，其实在复杂科技领域是广为应用的，而且越是复杂的领域，越成为普通工具，只是离平时的生活场景较远，人们才管它叫抽象。在具体的领域中，这些都是完全接地气的工具。