线性代数中矩阵、向量这些东西的数学规则，诸多细节等等都是表面符号形式，并非本质。

矩阵的本质：把对事物从不同角度得到的观察结果，组合在一起，形成对事物的完整描述。

这里说的不同观察角度或视野，就是矩阵的每一行。它是观察的维度，事物投影的维度。

这里说的事物就是向量，就是矩阵的每一列。事物存在于空间之中，也就是存在于不同维度的观察之中。它同时存在于多个不同的观察视野中，也就是在不同的维度上都有投影。所以每一个向量，也就是每一列，都在每一行上有对应的具体数字。这个数字就是它在该维度中的身影。

一个等式，一个方程就是一个观察维度，所以方程组才等价于一个多维度的矩阵描述。每一个变量的在不同方程中的线性组合元素，就代表了一个存在于多维度观察空间里的事物，也就是一个向量。

矩阵中的每一行同样也是个矩阵，为什么？它只是单一的一个观察维度而以。与多行矩阵没有本质的区别，只是观察被降维了，信息寡淡，显得单薄一些。

上面说的就是一个单独孤零零存在的矩阵所代表的含义。它就是描述了一个以n个向量为描述对象的空间结构，也就是线性空间。

当把一个向量与矩阵相乘的时候，就是要把该对象投影到这个空间中去。

当把一个矩阵与另一个矩阵相乘的时候，就是要把第二个矩阵所描述的整个空间，投影到第一个矩阵所描述的空间中去。

上述两种动态操作，都被称为线性变换。

当一个向量被当作一个观察维度来对待的时候（这是线性变换的根本所在），就是要把该事物做为衡量基准来观察其它事物或事物集合（也就是空间），而不再是以绝对的坐标系的维度为观察基准。相对论的数学形式也是来自于这样的变换。

这在数学上，就是把这个原本竖直站立的向量，放倒躺平，变成一维单行矩阵的操作。这等于把该向量所身处的整个空间，以特征化的方式投影压缩到一个有限存在之内，也就是投影到与该向量重合的数轴上。

所以线性空间中的任何一个存在，也就是任何一个向量，同时也都是其所处空间在它自己身上的一个投影特例。

如果理解上面这些话，那么问你：在一个数轴上，可以存在一个n维空间吗？当然可以，它就是矩阵的一行，一个压缩的n维空间的外观。

那么点积是什么？当一个n维空间被投影到一个数轴上之后，该空间中所有的向量也被一并压缩投影进去了，这就像整体打包压缩一样。那么原来的任意一个向量，在这个数轴上的压缩后看上去的样子大小，就是点积。

叉积是什么？一个n维空间是有其抽象体积的，也就是对应的行列式。行列式的结果是一个数字。而点积也是一个数字。如果想用一个点积来表示一个n维空间的体积，那么非常自然也是必然的推论一定是：形成该点积的两个向量中，一定有一个，也就是被投影的那一个，在数值上一定是等于该n维空间的截面积，且方向垂直于该截面。当然这里所说的体积和截面，是数学抽象的等价描述。