五轴联动数控加工复杂型面工件插补方法的研究
1 引言
数控加工技术是一个国家机械制造水平的衡量标志之一。五轴联动数控加工技术作为机械加工领域的关键技术，其研发和应用得到了科研院所，高校和企业的极大关注。五轴联动数控技术不仅提高了机械加工的生产效率，更重要的是主要应用在航空航天，军工模具等行业，对于实现国防现代化有着重要意义。所谓五轴联动加工是指一台机床上五个坐标轴同时控制协调运动进行加工。五轴联动加工一般是指三个坐标轴X-Y-Z和两个转动轴同时协调加工，旋转轴的参与是刀具切削过程中始终处于最佳的切削状态成为了可能。五轴联动数控加工与一般的三轴联动数控加工相比，主要有以下优点：
(1)通过定义适当的刀轴变化，可以避开刀具干涉，能够加工一般三轴数控机床所不能加工的复杂曲面。
(2)适合于直纹面的加工，采用侧面铣削的方法，能够实现一刀精加工成型，提高了加工质量和效率。
(3)对曲率半径大且变化较小的大型曲面，采用大直径刀具端面铣削，能够实现刀具大跨度切削，从面可以显着提高加工表面质量和加工效率。
(4)刀具的可变化使复杂零件一次装卡加工多个表面，实现了多工序的集中加工，有利于提高各加工要素的相互位置精度。
(5)五轴机床加工过程中由于刀具/工件位姿角随时可调，则不仅可以避免球头铣刀的端部参与切削，而且还可以充分利用刀具的最佳切削点来进行切削。
(6)某些复杂曲面的清角问题，可以利用大直径的刀具实现，刀具刚性好，能够提高整个加工系统的刚性，可采用更高的切削速度，从而提高加工质量和加工效率。
对复杂型面零件的数控加工，一般都采用五轴联动。但是，传统CNC 系统都是将由CAD/CAM 系统生成的几何型面和刀具路径按精度要求离散成大量直线段，再进行线性插补加工。理论和实验证明，采用直线段逼近复杂曲线并使用线性插补加工存在很多不足，如导致进给速度剧烈波动,进给速度下降，又如代码段数量庞大。更致命的是,这种方法对精度和速度的要求是一对矛盾。要克服这些不足, 必须用曲线直接插补。其中，NURBS（非均匀有理B 样条）曲线曲面可以统一表达自由曲线曲面和解析曲线曲面，并具有平滑性、局部可控性等优点，被国际标准化组织（ ISO） 确定为自由型零件、产品几何表达的唯一形式,并已在CAD/ CAM 领域得到成功应用。因此在CNC 领域对NURBS 曲线直接插补的研究具有重要意义。
2 数据数学处理方法
复杂曲面一般是指除球面，双曲线，抛物线，椭球面等第二次曲线方程所能表达的曲面，一般有两种：一种是高次曲面，一般用通过理论计算得到的曲面方程来表示；另一种是由许多曲面的连接和剪切得到的混合曲面，其表面数据往往是通过反求工程获得的。前者理论计算得到的曲面方程可以利用CAD软件来进行建模处理，用CAM软件来进行数控加工程序的编制；后者一般为通过反求工程得到的工程数据列表，对工程数据列表的快速高效处理一直都是CAD技术研究的热点。现实生产过程中，复杂曲面的零件轮廓形状是通过实验或试制方法得到的，因而确定零件形状的轮廓的测量得到的数据点往往是离散的，各坐标点之间往往没有确定的数学关系，但在加工过程中，要求加工的曲线能够平滑的通过或接近已知的各坐标点，并且限制了加工精度。这就要求对所获得的数据进行一定的数学处理，以获得能够满足加工精度的曲线作为复杂曲面的数学模型。从而为数控加工提供了条件。本文利用一种用于工程计算的高性能程序设计语言MATLAB来进行数据处理，采用最小二乘法的判别准则，对所得数据进行了拟合，满足了拟合精度要求。
2.1 最小二乘法及拟合方法
最小二乘法的基本思想是对应数据确定的拟合曲线与各坐标点的偏差的平方和最小。设由实验所得n个点的坐标是（x0, y0）(x1, y1)…(xn, yn)。设拟合公式为 ，则拟合曲线在第一点结点处与实际值的偏差为ei=f(xi)－yi，则偏差的平方和为

所求拟合多项式的相应系数值的原则是上式中各偏差的平方和最小。
设拟合公式是多项式为：

已知n个点坐标是（x0, y0）(x1, y1)…(xn, yn)(n>>m)则各点偏差的平方和为： （1）
上式的最小值既是偏差平方和的最小值，根据连续函数求极值的方法，对 各变量求偏导数，令其偏导数等于零，所得方程组为
（2）
上式中有m+1个未知数，有m个方程，因此联立方程组可求各系数值。上述拟合过程在数控加工的编程工作中，一般被称为第一次逼近（或称第一次数学处理）。
2.2 工程数据的第二次数学处理
第一次逼近所得的结果一般都不能直接用于编程，而必须取得逼近列表曲线的直线或圆弧数据，这一拟合过程在编程中被称为第二次数学处理（或称为第二次逼近）。
虽然高档的数控控制系统已经能够对样条曲线进行处理，但大多数的数控控制系统只能用圆弧和直线的方法来逼近。从而得到适用的加工程序。本文采用等误差直线逼近法来处理用数学方程来表示的轮廓图形。一般来说，由于弦线法的插补节点均在曲线轮廓上，容易计算，程序编制也简单一些，所以常用弦线法来逼近非圆曲线，其关键在于插补段长度及插补误差控制。由于各种曲线上各点的曲率不同，如要使各段插补误差相同，则各插补段长度不等。此种方法的优点是插补段数目比较少。这对于大型和形状复杂的曲线零件有较大意义。
实际加工曲线过程中，机床控制刀具按设计的曲线运动即可，其轮廓的形状由刀具的包络而成。曲线加工的理论刀具轨迹是曲线本身，不必考虑刀具的补偿问题。但一般数控系统只具有直线，圆弧等少数插补功能，因此拟合所得的曲线不能被数控系统处理，此时需要对给定的曲线按照允许的逼近误差进行离散逼近。
对于复杂曲线的逼近，可以采用等参数，等步长，等误差三种方法对其进行逼近处理。
2.3 工程数据的处理过程
本文利用MATLAB强大的计算功能来进行计算，并核算其拟合的精度。设拟合精度为0．01mm。
在MATLAB中，求解多项式可以通过数组或矩阵的方法，前者采用的函数是polycval( )，后者采用的函数为polyvalm( )，两者的区别主要在于矩阵计算和数组计算的差别。对一曲面沿X轴方向第隔1测量点的坐标，得到数表如表1所示。

表1 数据图表
points 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y 1.36 1.44 1.49 1.53 1.59 1.62 1.68 1.73 1.8 1.88

设拟合精度为0.01mm。基于最小二乘法的判别准则，第一次做2次拟合，求出各系数，并对测量数据点比较，求出拟合误差 。处理程序及结果如图1所示: ，即拟合结果不能满足精度要求。


图1 二次拟合程序及拟合误差

利用上述方法编制计算处理程序，求出各项系数，并求出拟合误差与要求拟合精度相比较，若超差，则进行更高次拟合。处理程序及结果如图2所示： ，拟合结果显然已满足精度要求。

图2 三次拟合程序及拟合误差

拟合图形如图3所示，图形结果显示三次拟合能够更加准确表示的各数据之间的趋势。同样利用MATLAB这个数学工具，避免了计算的复杂性，提高了工作效率。

图3 多项式拟合曲线图